papers/ellipsometry_notes.tex

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  21
  22 \newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{#1}} % Draw a vector
  23 \newcommand{\divg}[1]{\nabla \cdot #1} % divergence
  24 \newcommand{\curl}[1]{\nabla \times #1} % curl
  25 \newcommand{\grad}[1]{\nabla #1} %gradient
  26 \newcommand{\pd}[3][ ]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} %partial derivative
  27 %\newcommand{\d}[3][ ]{\frac{d^{#1} #2}{d #3^{#1}}} %full derivative
  28 \newcommand{\phasor}[1]{\tilde{#1}} % make a phasor
  29 \newcommand{\laplacian}[1]{\nabla^2 {#1}} % The laplacian operator
  30
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  33
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  47
  48 \begin{document}
  49
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  56
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  60 %\maketitle
  61
  62 %\tableofcontents
  63
  64 %\pagebreak
  65
  66 \section*{Overview of VASE: Basic Theory and Applications}
  67 \begin{itemize}
  68         \item Reference: J.A Woolam\cite{woolam1}
  69 \end{itemize}
  70 \subsection*{Introduction}
  71 \begin{itemize}
  72         \item Mathematical theory is based on Fresnel reflection/transmission equations
  73         \begin{itemize}
  74                 \item These come from solutions to Maxwell's equations
  75                 \item p polarised: $\vect{E}$ field parallel to plane of incidence
  76                 \item s polarised: $\vect{E}$ field perpendicular to plane of incidence (parallel to surface)
  77         \end{itemize}
  78         \item Ellipsometric measurement:
  79         \begin{align*}
  80                 \tan(\Psi) e^{i \Delta} = \rho = \frac{r_p}{r_s}
  81         \end{align*}
  82         \item Spectroscopic Ellipsometry (SE): Measure $\rho$ as a function of $\lambda$
  83         \item Variable Angle SE (VASE): Measure $\rho$ as a function of $\lambda$ and angle of incidence.
  84         \item Measure \emph{ratio} of 2 values $\implies$ accurate and reproducable
  85         \item Measure $\Delta$ (phase quantity), sensitive to presence of thin films
  86         \item VASE gathers many data points off a single sample, and is well suited to modelling and fitting
  87 \end{itemize}
  88 \subsection*{What can be Determined by VASE?}
  89 \begin{itemize}
  90         \item Layer thickness
  91         \item Surface/interfacial roughness
  92         \item Optical constants $\implies$ any parameter that depends on these
  93         \item Gradients in properties vs depth in film
  94         \item Optical anisotropy
  95         \begin{align*}
  96                 \langle\epsilon\rangle &= \langle\epsilon_1\rangle + i \langle\epsilon_2\rangle \\
  97                                 &= \langle\phasor{n}\rangle^2 = \left( \langle n\rangle + i \langle k \rangle \right)^2 \\
  98                                 &= \sin(\phi)^2 \left[ 1 + \tan(\phi)^2 \left(\frac{1 - \rho}{1 + \rho}\right)\right]
  99         \end{align*}
 100 \end{itemize}
 101 \pagebreak
 102 \subsection*{Data Analysis}
 103 \begin{itemize}
 104         \item Ellipsometry doesn't directly measure film parameters; measures $\Psi$ and $\Delta$
 105         \item Necessary to perform a model dependent analysis of $\Psi$ and $\Delta$ data
 106         \item VASE increases data points recorded $\implies$ good for fitting model to data
 107         \item Procedure:
 108         \begin{enumerate}
 109                 \item Aquire Data
 110                 \item Use assumed model to predict expected data
 111                 \item Compare generated to experimental data, and adjust model parameters to fit
 112         \end{enumerate}
 113         \item Fitting algorithm - Marquardt-Levenberg
 114         \item Objective - minimise (root) Mean Squared Error (MSE)
 115         \begin{align*}
 116                 \text{MSE} &= \sqrt{\frac{1}{2N - M} \displaystyle\sum_{i=1}^N \left[ \left(\frac{\Psi_i^{\text{Mod}} - \Psi_i^{\text{Exp}}}{\sigma_{\Psi_i}^{\text{Exp}}} \right)^2 + \left(\frac{\Delta_i^{\text{Mod}} - \Delta_i^{\text{Exp}}}{\sigma_{\Delta_i}^{\text{Exp}}} \right)^2\right]}
 117         \end{align*}
 118         \item Iterative process; start with simple model and refine
 119         \item ``...the danger in making the model more complex is that paramters become correlated, in which case multiple sets of paramters will give the same good MSE fit.''
 120 \end{itemize}
 121
 122 \subsection*{Considerations for VASE Analysis}
 123 \begin{itemize}
 124         \item Initial guesses must be close to the actual value
 125         \item This way the final MSE is the actual best fit, not a local minima as shown in \ref{MSE-woolam1}
 126 \end{itemize}
 127
 128 \begin{center}
 129         \includegraphics[scale=0.80]{MSE-woolam1.png}
 130         \captionof{figure}{From \cite{woolam1}}
 131         \label{MSE-woolam1}
 132 \end{center}
 133
 134 \subsection*{Building Optical Model}
 135 \begin{itemize}
 136         \item Must have enough flexibility to accurately fit the experimental data
 137         \item Example: Surface roughness added to model increases accuracy of fit
 138 \end{itemize}
 139
 140 \section*{Harris 1953}
 141 \begin{itemize}
 142         \item Reference \cite{harris53}
 143         \item Measure conductivity of gold-blacks from reflection & transmission measurements in far IR
 144         \item Conductivity depends on wavelength
 145         \begin{enumerate}
 146                 \item ``Condenser Effect''
 147                 \begin{itemize}
 148                         \item Structure of material; yarn like metal strands
 149                         \item Gaps in metal strands act as condensers
 150                         \item ``optical conductivity'' is actually an admittivity
 151                         \item As $f$ of radiation increases, more strands capable of conducting current
 152                         \item $\implies$ conductivity decreases as $\lambda$ increases
 153                 \end{itemize}
 154                 \item ``Relaxation Effect''
 155                 \begin{itemize}
 156                         \item Finite relaxation time of Electrons (Reference Drude and Zener)
 157                         \item Electrons lag behind imposed EMF. Lag increases as $f$ increases.
 158                         \item $\implies$ conductivity increases as $\lambda$ increases
 159                 \end{itemize}
 160                 \item At Resonance frequencies, optical absorbtivity (and hence conductivity) passes through a maximum.
 161         \end{enumerate}
 162         \item For metal blacks, the effects of the 3 factors dominate in different regions of $\lambda$
 163         \begin{itemize}
 164                 \item Resonance $f$ lie in visible and near IR regions
 165                 \item $\lambda > 100$microns
 166         \end{itemize}
 167         \item Relaxation effect is the dominant effect considered in this paper.
 168 \end{itemize}
 169
 170
 171 \bibliographystyle{plain}
 172 \bibliography{notes}
 173
 174 \end{document}
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