1 \input{template}
2 \begin{document}
5 \pagestyle{fancy}
7 \fancyfoot{}
10 \fancyfoot[CO, C]{\thepage}
12 \begin{center}
13         B.Eng. Final Year Project \par
14         {\bf \Large Literature Notes} \par
15         Sam Moore, David Gow \\
16         Faculty of Engineering, Computing and Mathematics, University of Western Australia \\
17         March 2014
18 \end{center}
20 \tableofcontents
22 \chapter{Literature Summaries}
24 \section{Postscript Language Reference Manual  \cite{plrm}}
26 Adobe's official reference manual for PostScript.
28 It is big.
30 \begin{itemize}
31         \item First version was published BEFORE the IEEE standard and used smaller floats than binary32
32         \item Now uses binary32 floats.
33 \end{itemize}
35 \section{Portable Document Format Reference Manual  \cite{pdfref17}}
37 Adobe's official reference for PDF.
39 It is also big.
41 \begin{itemize}
42         \item Early versions did not use IEEE binary32 but 16-16 exponent/mantissa encodings (Why?)
43         \item Current standard is restricted to binary32
44         \item It specifically says PDF creators must use at most binary32 because higher precision is not supported by Adobe Reader.
45 \end{itemize}
47 \section{IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic \cite{ieee2008-754}}
49 The IEEE (revised) 754 standard.
51 It is also big.
53 Successes:
54 \begin{itemize}
55         \item Has been adopted by CPUs
56         \item Standardised floats for programmers --- accomplishes goal of allowing non-numerical experts to write reasonably sophisticated platform independent programs that may perform complex numerical operations
57 \end{itemize}
59 Failures:
60 \begin{itemize}
61         \item Adoption by GPUs slower\cite{hillesland2004paranoia}
62         \item It specifies the maximum errors for operations using IEEE types but nothing about internal representations
63         \item Many hardware devices (GPUs and CPUs) use non-IEEE representations internally and simply truncate/round the result
64         \begin{itemize}
65                 \item This isn't so much of a problem when the device uses additional bits but it is misleading when GPUs use less than binary32 and act as if they are using binary32 from the programmer's perspective.
66                 \item Devices using {\bf less} bits internally aren't IEEE compliant
67         \end{itemize}
68         \item Thus the same program compiled and run on different architectures may give completely different results\cite{HFP}
69         \begin{itemize}
70                 \item The ultimate goal of allowing people to write numerical programs in total ignorance of the hardware is not entirely realised
71         \end{itemize}
72         \item This is the sort of thing that makes people want to use a virtual machine, and thus Java
73         \begin{itemize}
74                 \item Objectively I probably shouldn't say that using Java is in itself a failure
75         \end{itemize}
76         \item Standards such as PostScript and PDF were slow to adopt IEEE representations
77         \item The OpenVG standard accepts IEEE binary32 in the API but specifically states that hardware may use less than this\cite{rice2008openvg}
78 \end{itemize}
82 \pagebreak
84 \section{Portable Document Format (PDF) --- Finally...  \cite{cheng2002portable}}
86 This is not spectacularly useful, is basically an advertisement for Adobe software.
88 {\bf Intro}
89 \begin{itemize}
90         \item Visual communications has been revolutionised by computing
91         \item BUT there have always been problems in exchanging formats
92         \item Filetypes like text, rich text, IGES, DXF, TIFF, JPEG, GIFF solve problems for particular types of files only
93         \item PDF solves everything for everyone; can include text, images, animation, sound, etc
94 \end{itemize}
95 {\bf PDF Features}
96 \begin{itemize}
97         \item Raster Image Process (RIP) --- For printing (presumably also displaying on screen)
98         \item Originally needed to convert to PS then RIP, with PS 3 can now RIP directly.
99         \item Reduced filesize due to compression
100         \item Four major applications - Stoy 1999\cite{stoy1999}
101                 \begin{enumerate}
103                         \item Files on CDs
104                         \item Files for outputing to printers
105                         \item Conventional [commercial scale?] printing
106                 \end{enumerate}
107         \item List of various (Adobe) PDF related software
108         \begin{itemize}
109                 \item Includes software for PS that converts to/from PDF
110                 \item So PS was obviously pretty popular before PDF
111         \end{itemize}
112         \item Can Optimize for screen/printer [not clear how]
113         \item Can compress for size
114 \end{itemize}
116 \pagebreak
117 \section{Pixels or Perish  \cite{hayes2012pixels}}
119 The art of scientific illustration will have to adapt to the new age of online publishing''
120 And therefore, JavaScript libraries ($\text{D}^3$) are the future.
122 The point is that we need to change from thinking about documents as paper to thinking of them as pixels.
123 This kind of makes it related to our paper, because it is the same way we are justifying our project. It does mention precision, but doesn't say we need to get more of it.
125 I get the feeling from this that Web based documents are a whole bunch of completely different design philosophies hacked together
126 with JavaScript.
128 This paper uses Metaphors a lot. I never met a phor that didn't over extend itself.
131 {\bf Intro}
132 \begin{itemize}
133         \item Drawings/Pictures are ornaments in science but they are not just ornamental
134         \item Processes have changed a lot; eg: photographic plates $\to$ digital images
135         \item we are about to turn the page --- if not close the book --- on yet another chapter in publishing history.'' (HO HO HO)
136         \item It would be cool to have animated figures in documents (eg: Population pyramid; changes with time); not just as supplements''
137         \item In the beginning, there was PostScript, 1970s and 1980s, John Warnock and Charles Geschke, Adobe Systems
138         \item PS is a language for vector graphics; objects are constructed from geometric primitives rather than a discrete array of pixels
139         \item PS is a complete programming language; an image is also a program; can exploit this to control how images are created based on data (eg: Faces)
140         \item PDF is flattened'' PS. No longer programable. Aspires to be virtual paper''.
141         \item But why are we using such powerful computing machines just to emulate sheets paper? (the author asks)
142 \end{itemize}
144 {\bf Web based Documents}
145 \begin{itemize}
146         \item HTML, CSS, JavaScript - The Axis of Web Documents
147         \begin{itemize}
148                 \item HTML - Defines document structure
149                 \item CSS - Defines presentation of elements in document
150                 \item JavaScript - Encodes actions, allows dynamic content (change the HTML/CSS)
151         \end{itemize}
152         \item \texttt{<canvas>} will let you draw anything (So in principle don't even need all of HTML/CSS)
153         \begin{itemize}
154                 \item Not device independent
155                 \item Coordinates can be specified with precision finer than pixel resolution'' {\bf (TODO: Investigate this?)}
156                 \item JavaScript operators to draw things on canvas are very similar to the PostScript model
157         \end{itemize}
158         \item SVG --- Same structure (Document Object Model (DOM)) as HTML
159         \begin{itemize}
160                 \item Noun language''
161                 \item Nouns define lines/curves etc, rather than paragraphs/lists
162                 \item Also borrows things from PostScript (eg: line caps and joints)
163                 \item IS device independent, very high precision'' {\bf (TODO: Investigate)}
164                 \item JavaScript can be used to interact with SVG too
165         \end{itemize}
166         \item $\text{D}^{3}$ (Data Driven Documents) - A JavaScript library
167         \begin{itemize}
168                 \item Idea is to create or modify elements of a DOM document using supplied data
169                 \item \url{https://github.com/mbostock/d3/wiki}
170         \end{itemize}
171         \item We are in a new Golden Age of data visualisation
172         \item Why do we still use PDFs?
173         \begin{itemize}
174                 \item PDFs are owned'' by the author/reader; you download it, store it, you can print it, etc
175                 \item HTML documents are normally on websites. They are not self contained. They often rely on remote content from other websites (annoying to download the whole document).
176         \end{itemize}
177         \item {\bf Conclusion} Someone should open up PDF to accept things like $\text{D}^{3}$ and other graphics formats (links nicely with \cite{barnes2013embedding})
178         \item Also, Harry Potter reference
180 \end{itemize}
182 \section{Embedding and Publishing Interactive, 3D Figures in PDF Files  \cite{barnes2013embedding}}
184 \begin{itemize}
185         \item Linkes well with \cite{hayes2012pixels}; I heard you liked figures so I put a figure in your PDF
186         \item Title pretty much summarises it; similar to \cite{hayes2012pixels} except these guys actually did something practical
187 \end{itemize}
189 \section{27 Bits are not enough for 8 digit accuracy  \cite{goldberg1967twentyseven}}
191 Proves with maths, that rounding errors mean that you need at least $q$ bits for $p$ decimal digits. $10^p < 2^{q-1}$
193 \begin{itemize}
194         \item Eg: For 8 decimal digits, since $10^8 < 2^{27}$ would expect to be able to represent with 27 binary digits
195         \item But: Integer part requires digits bits (regardless of fixed or floating point represenetation)
196         \item Trade-off between precision and range
197         \begin{itemize}
198                 \item 9000000.0 $\to$ 9999999.9 needs 24 digits for the integer part $2^{23} = 83886008$
199         \end{itemize}
200         \item Floating point zero = smallest possible machine exponent
201         \item Floating point representation:
202         \begin{align*}
203                 y &= 0.y_1 y_2 \text{...} y_q \times 2^{n}
204         \end{align*}
205         \item Can eliminate a bit by considering whether $n = -e$ for $-e$ the smallest machine exponent (???)
206         \begin{itemize}
207                 \item Get very small numbers with the same precision
208                 \item Get large numbers with the extra bit of precision
209         \end{itemize}
210 \end{itemize}
212 \section{What every computer scientist should know about floating-point arithmetic  \cite{goldberg1991whatevery}}
214 \begin{itemize}
215         \item Book: \emph{Floating Point Computation} by Pat Sterbenz (out of print... in 1991)
216     \item IEEE floating point standard becoming popular (introduced in 1987, this is 1991)
217     \begin{itemize}
218                 \item As well as structure, defines the algorithms for addition, multiplication, division and square root
219                 \item Makes things portable because results of operations are the same on all machines (following the standard)
220                 \item Alternatives to floating point: Floating slasi and Signed Logarithm (TODO: Look at these, although they will probably not be useful)
222         \end{itemize}
223         \item Base $\beta$ and precision $p$ (number of digits to represent with) - powers of the base can be represented exactly.
224         \item Largest and smallest exponents $e_{min}$ and $e_{max}$
225         \item Need bits for exponent and fraction, plus one for sign
226         \item Floating point number'' is one that can be represented exactly.
227         \item Representations are not unique! $0.01 \times 10^1 = 1.00 \times 10^{-1}$ Leading digit of one $\implies$ normalised''
228         \item Requiring the representation to be normalised makes it unique, {\bf but means it is impossible to represent zero}.
229         \begin{itemize}
230                 \item Represent zero as $1 \times \beta^{e_{min}-1}$ - requires extra bit in the exponent
231         \end{itemize}
232         \item {\bf Rounding Error}
233         \begin{itemize}
234                 \item Units in the last place'' eg: 0.0314159 compared to 0.0314 has ulp error of 0.159
235                 \item If calculation is the nearest floating point number to the result, it will still be as much as 1/2 ulp in error
236                 \item Relative error corresponding to 1/2 ulp can vary by a factor of $\beta$ wobble''. Written in terms of $\epsilon$
237                 \item Maths $\implies$ {\bf Relative error is always bounded by $\epsilon = (\beta/2)\beta^{-p}$}
238                 \item Fixed relative error $\implies$ ulp can vary by a factor of $\beta$ . Vice versa
239                 \item Larger $\beta \implies$ larger errors
240         \end{itemize}
241         \item {\bf Guard Digits}
242         \begin{itemize}
243                 \item In subtraction: Could compute exact difference and then round; this is expensive
244                 \item Keep fixed number of digits but shift operand right; discard precision. Lead to relative error up to $\beta - 1$
245                 \item Guard digit: Add extra digits before truncating. Leads to relative error of less than $2\epsilon$. This also applies to addition
246         \end{itemize}
247         \item {\bf Catastrophic Cancellation} - Operands are subject to rounding errors - multiplication
248         \item {\bf Benign Cancellation} - Subtractions. Error $< 2\epsilon$
249         \item Rearrange formula to avoid catastrophic cancellation
250         \item Historical interest only - speculation on why IBM used $\beta = 16$ for the system/370 - increased range? Avoids shifting
251         \item Precision: IEEE defines extended precision (a lower bound only)
252         \item Discussion of the IEEE standard for operations (TODO: Go over in more detail)
253         \item NaN allow continuing with underflow and Infinity with overflow
254         \item Incidentally, some people think that the solution to such anomalies is never to compare floating-point numbers for equality but instead to consider them equal if they are within some error bound E. This is hardly a cure all, because it raises as many questions as it answers.'' - On equality of floating point numbers
256 \end{itemize}
259 %%%%
260 % David's Stuff
261 %%%%
262 \section{Compositing Digital Images  \cite{porter1984compositing}}
266 Perter and Duff's classic paper "Compositing Digital Images" lays the
267 foundation for digital compositing today. By providing an "alpha channel,"
268 images of arbitrary shapes — and images with soft edges or sub-pixel coverage
269 information — can be overlayed digitally, allowing separate objects to be
270 rasterized separately without a loss in quality.
272 Pixels in digital images are usually represented as 3-tuples containing
273 (red component, green component, blue component). Nominally these values are in
274 the [0-1] range. In the Porter-Duff paper, pixels are stored as $(R,G,B,\alpha)$
275 4-tuples, where alpha is the fractional coverage of each pixel. If the image
276 only covers half of a given pixel, for example, its alpha value would be 0.5.
278 To improve compositing performance, albeit at a possible loss of precision in
279 some implementations, the red, green and blue channels are premultiplied by the
280 alpha channel. This also simplifies the resulting arithmetic by having the
281 colour channels and alpha channels use the same compositing equations.
283 Several binary compositing operations are defined:
284 \begin{itemize}
285 \item over
286 \item in
287 \item out
288 \item atop
289 \item xor
290 \item plus
291 \end{itemize}
293 The paper further provides some additional operations for implementing fades and
294 dissolves, as well as for changing the opacity of individual elements in a
295 scene.
297 The method outlined in this paper is still the standard system for compositing
298 and is implemented almost exactly by modern graphics APIs such as \texttt{OpenGL}. It is
299 all but guaranteed that this is the method we will be using for compositing
300 document elements in our project.
304 \section{Bresenham's Algorithm: Algorithm for computer control of a digital plotter  \cite{bresenham1965algorithm}}
305 Bresenham's line drawing algorithm is a fast, high quality line rasterization
306 algorithm which is still the basis for most (aliased) line drawing today. The
307 paper, while originally written to describe how to control a particular plotter,
308 is uniquely suited to rasterizing lines for display on a pixel grid.
310 Lines drawn with Bresenham's algorithm must begin and end at integer pixel
311 coordinates, though one can round or truncate the fractional part. In order to
312 avoid multiplication or division in the algorithm's inner loop,
314 The algorithm works by scanning along the long axis of the line, moving along
315 the short axis when the error along that axis exceeds 0.5px. Because error
316 accumulates linearly, this can be achieved by simply adding the per-pixel
317 error (equal to (short axis/long axis)) until it exceeds 0.5, then incrementing
318 the position along the short axis and subtracting 1 from the error accumulator.
320 As this requires nothing but addition, it is very fast, particularly on the
321 older CPUs used in Bresenham's time. Modern graphics systems will often use Wu's
322 line-drawing algorithm instead, as it produces antialiased lines, taking
323 sub-pixel coverage into account. Bresenham himself extended this algorithm to
324 produce Bresenham's circle algorithm. The principles behind the algorithm have
325 also been used to rasterize other shapes, including B\'{e}zier curves.
327 \section{Quad Trees: A Data Structure for Retrieval on Composite Keys  \cite{finkel1974quad}}
329 This paper introduces the quadtree'' spatial data structure. The quadtree structure is
330 a search tree in which every node has four children representing the north-east, north-west,
331 south-east and south-west quadrants of its space.
333 \section{Xr: Cross-device Rendering for Vector Graphics  \cite{worth2003xr}}
335 Xr (now known as Cairo) is an implementation of the PDF v1.4 rendering model,
336 independent of the PDF or PostScript file formats, and is now widely used
337 as a rendering API. In this paper, Worth and Packard describe the PDF v1.4 rendering
338 model, and their PostScript-derived API for it.
340 The PDF v1.4 rendering model is based on the original PostScript model, based around
341 a set of \emph{paths} (and other objects, such as raster images) each made up of lines
342 and B\'{e}zier curves, which are transformed by the Current Transformation Matrix.''
343 Paths can be \emph{filled} in a number of ways, allowing for different handling of self-intersecting
344 paths, or can have their outlines \emph{stroked}.
345 Furthermore, paths can be painted with RGB colours and/or patterns derived from either
346 previously rendered objects or external raster images.
347 PDF v1.4 extends this to provide, amongst other features, support for layering paths and
348 objects using Porter-Duff compositing\cite{porter1984compositing}, giving each painted path
349 the option of having an $\alpha$ value and a choice of any of the Porter-Duff compositing
350 methods.
352 The Cairo library approximates the rendering of some objects (particularly curved objects
353 such as splines) with a set of polygons. An \texttt{XrSetTolerance} function allows the user
354 of the library to set an upper bound on the approximation error in fractions of device pixels,
355 providing a trade-off between rendering quality and performance. The library developers found
356 that setting the tolerance to greater than $0.1$ device pixels resulted in errors visible to the
357 user.
359 \section{Glitz: Hardware Accelerated Image Compositing using OpenGL  \cite{nilsson2004glitz}}
361 This paper describes the implementation of an \texttt{OpenGL} based rendering backend for
362 the \texttt{Cairo} library.
364 The paper describes how OpenGL's Porter-Duff compositing is easily suited to the Cairo/PDF v1.4
365 rendering model. Similarly, traditional OpenGL (pre-version 3.0 core) support a matrix stack
366 of the same form as Cairo.
368 The Glitz'' backend will emulate support for tiled, non-power-of-two patterns/textures if
369 the hardware does not support it.
371 Glitz can render both triangles and trapezoids (which are formed from pairs of triangles).
372 However, it cannot guarantee that the rasterization is pixel-precise, as OpenGL does not proveide
373 this consistently.
375 Glitz also supports multi-sample anti-aliasing, convolution filters for raster image reads (implemented
378 Performance was much improved over the software rasterization and over XRender accellerated rendering
379 on all except nVidia hardware. However, nVidia's XRender implementation did slow down significantly when
380 some transformations were applied.
382 In \cite{kilgard2012gpu}, Kilgard mentions that Glitz has been abandoned. He describes it as ''GPU assisted'' rather than GPU accelerated, since it used the XRender (??) extension.
384 %% Sam again
386 \section{Boost Multiprecision Library}
388 \begin{itemize}
389         \item The Multiprecision Library provides integer, rational and floating-point types in C++ that have more range and precision than C++'s ordinary built-in types.''
390         \item Specify number of digits for precision as a template argument.
391         \item Precision is fixed... {\bf possible approach to project:} Use \verb/boost::mpf_float<N>/ and increase \verb/N/ as more precision is required?
392 \end{itemize}
395 % Some hardware related sounding stuff...
397 \section{A CMOS Floating Point Unit  \cite{kelley1997acmos}}
399 The paper describes the implentation of a FPU for PowerPC using a particular Hewlett Packard process (HP14B 0.5$\mu$m, 3M, 3.3V).
400 It implements a subset of the most commonly used double precision floating point instructions''. The unimplemented operations are compiled for the CPU.
402 The paper gives a description of the architecture and design methods.
403 This appears to be an entry to a student design competition.
405 Standard is IEEE 754, but the multiplier tree is a 64-bit tree instead of a 54 bit tree.
406  The primary reason for implementing a larger tree is for future additions of SIMD [Single Instruction Multiple Data (?)] instructions similar to Intel's MMX and Sun's VIS instructions''.
408 HSPICE simulations used to determine transistor sizing.
410 Paper has a block diagram that sort of vaguely makes sense to me.
411 The rest requires more background knowledge.
413 \section{Simply FPU\cite{filiatreault2003simply}}
415 This is a webpage at one degree of seperation from wikipedia.
417 It talks about FPU internals, but mostly focuses on the instruction sets.
418 It includes FPU assembly code examples (!)
420 It is probably not that useful, I don't think we'll end up writing FPU assembly?
422 FPU's typically have 80 bit registers so they can support REAL4, REAL8 and REAL10 (single, double, extended precision).
424 Note: Presumably this is referring to the x86 80 bit floats that David was talking about?
427 \section{Floating Point Package User's Guide  \cite{bishop2008floating}}
429 This is a technical report describing floating point VHDL packages \url{http://www.vhdl.org/fphdl/vhdl.html}
431 In theory I know VHDL (cough) so I am interested in looking at this further to see how FPU hardware works.
432 It might be getting a bit sidetracked from the document formats'' scope though.
434 The report does talk briefly about the IEEE standard and normalised / denormalised numbers as well.
436 See also: Java Optimized Processor\cite{jop} (it has a VHDL implementation of a FPU).
438 \section{Low-Cost Microarchitectural Support for Improved Floating-Point Accuracy\cite{dieter2007lowcost}}
440 Mentions how GPUs offer very good floating point performance but only for single precision floats. (NOTE: This statement seems to contradict \cite{hillesland2004paranoia}.
442 Has a diagram of a Floating Point adder.
444 Talks about some magical technique called "Native-pair Arithmetic" that somehow makes 32-bit floating point accuracy competitive'' with 64-bit floating point numbers.
446 \section{Accurate Floating Point Arithmetic through Hardware Error-Free Transformations  \cite{kadric2013accurate}}
448 From the abstract: This paper presents a hardware approach to performing ac-
449 curate floating point addition and multiplication using the idea of error-
450 free transformations. Specialized iterative algorithms are implemented
451 for computing arbitrarily accurate sums and dot products.''
453 The references for this look useful.
455 It also mentions VHDL.
457 So whenever hardware papers come up, VHDL gets involved...
458 I guess it's time to try and work out how to use the Opensource VHDL implementations.
460 This is about reduction of error in hardware operations rather than the precision or range of floats.
461 But it is probably still relevant.
463 This has the Fast2Sum algorithm but for the love of god I cannot see how you can compute anything other than $a + b = 0 \forall a,b$ using the algorithm as written in their paper. It references Dekker\cite{dekker1971afloating} and Kahn; will look at them instead.
465 \section{Floating Point Unit from JOP  \cite{jop}}
467 This is a 32 bit floating point unit developed for JOP in VHDL.
468 I have been able to successfully compile it and the test program using GHDL\cite{ghdl}.
470 Whilst there are constants (eg: \verb/FP_WIDTH = 32, EXP_WIDTH = 8, FRAC_WIDTH = 23/) defined, the actual implementation mostly uses magic numbers, so
471 some investigation is needed into what, for example, the "52" bits used in the sqrt units are for.
473 \section{GHDL  \cite{ghdl}}
475 GHDL is an open source GPL licensed VHDL compiler written in Ada. It had packages in debian up until wheezy when it was removed. However the sourceforge site still provides a \shell{deb} file for wheezy.
477 This reference explains how to use the \shell{ghdl} compiler, but not the VHDL language itself.
479 GHDL is capable of compiling a testbench'' - essentially an executable which simulates the design and ensures it meets test conditions.
480 A common technique is using a text file to provide the inputs/outputs of the test. The testbench executable can be supplied an argument to save a \shell{vcd} file which can be viewed in \shell{gtkwave} to see timing diagrams.
482 Sam has successfully compiled the VHDL design for an FPU in JOP\cite{jop} into a testbench'' executable which uses standard i/o instead of a regular file.
483 Using unix domain sockets we can execute the FPU as a child process and communicate with it from our document viewing test software. This means we can potentially simulate alternate hardware designs for FPUs and witness the effect they will have on precision in the document viewer.
485 Using \shell{ghdl} the testbench can also be linked as part a C/C++ program and run using a function; however there is still no way to communicate with it other than forking a child process and using a unix domain socket anyway. Also, compiling the VHDL FPU as part of our document viewer would clutter the code repository and probably be highly unportable. The VHDL FPU has been given a seperate repository.
487 \section{On the design of fast IEEE floating-point adders  \cite{seidel2001onthe}}
489 This paper gives an overview of the Naive'' floating point addition/subtraction algorithm and gives several optimisation techniques:
491 TODO: Actually understand these...
493 \begin{itemize}
494         \item Use parallel paths (based on exponent)
495         \item Unification of significand result ranges
496         \item Reduction of IEEE rounding modes
497         \item Sign-magnitude computation of a difference
498         \item Compound Addition
499         \item Approximate counting of leading zeroes
500         \item Pre-computation of post-normalization shift
501 \end{itemize}
503 They then give an implementation that uses these optimisation techniques including very scary looking block diagrams.
505 They simulated the FPU. Does not mention what simulation method was used directly, but cites another paper (TODO: Look at this. I bet it was VHDL).
507 The paper concludes by summarising the optimisation techniques used by various adders in production (in 2001).
509 This paper does not specifically mention the precision of the operations, but may be useful because a faster adder design might mean you can increase the precision.
511 \section{Re: round32 ( round64 ( X ) ) ?= round32 ( X )  \cite{beebe2011round32}}
513 I included this just for the quote by Nelson H. F. Beebe:
515 It is too late now to repair the mistakes of the past that are present
516 in millions of installed systems, but it is good to know that careful
517 research before designing hardware can be helpful.''
519 This is in regards to the problem of double rounding. It provides a reference for a paper that discusses a rounding mode that eliminates the problem, and a software implementation.
521 It shows that the IEEE standard can be fallible!
523 Not sure how to work this into our literature review though.
525 % Back to software
526 \section{Basic Issues in Floating Point Arithmetic and Error Analysis  \cite{demmel1996basic}}
528 These are lecture notes from U.C Berkelye CS267 in 1996.
531 \section{Charles Babbage  \cite{dodge_babbage, nature1871babbage}}
533 Tributes to Charles Babbage. Might be interesting for historical background. Don't mention anything about floating point numbers though.
535 \section{GPU Floating-Point Paranoia  \cite{hillesland2004paranoia}}
537 This paper discusses floating point representations on GPUs. They have reproduced the program \emph{Paranoia} by William Kahan for characterising floating point behaviour of computers (pre IEEE) for GPUs.
540 There are a few remarks about GPU vendors not being very open about what they do or do not do with
543 Unfortunately we only have the extended abstract, but a pretty good summary of the paper (written by the authors) is at: \url{www.cs.unc.edu/~ibr/projects/paranoia/}
545 From the abstract:
547 ... [GPUs are often similar to IEEE] However, we have found
548 that GPUs do not adhere to IEEE standards for floating-point op-
549 erations, nor do they give the information necessary to establish
550 bounds on error for these operations ... ''
552 and ...Our goal is to determine the error bounds on floating-point op-
553 eration results for quickly evolving graphics systems. We have cre-
554 ated a tool to measure the error for four basic floating-point opera-
555 tions: addition, subtraction, multiplication and division.''
557 The implementation is only for windows and uses glut and glew and things.
558 Implement our own version?
560 \section{A floating-point technique for extending the available precision  \cite{dekker1971afloating}}
562 This is Dekker's formalisation of the Fast2Sum algorithm originally implemented by Kahn.
564 \begin{align*}
565         z &= \text{RN}(x + y) \\
566         w &= \text{RN}(z - x) \\
567         zz &= \text{RN}(y - w) \\
568         \implies z + zz &= x + y
569 \end{align*}
571 There is a version for multiplication.
573 I'm still not quite sure when this is useful. I haven't been able to find an example for $x$ and $y$ where $x + y \neq \text{Fast2Sum}(x, y)$.
575 \section{Handbook of Floating-Point Arithmetic \cite{HFP}}
577 This book is amazingly useful and pretty much says everything there is to know about Floating Point numbers.
578 It is much easier to read than Goldberg or Priest's papers.
580 I'm going to start working through it and compile their test programs.
582 \subsection{A sequence that seems to converge to a wrong limit  - pgs 9-10, \cite{HFP}}
584 \begin{align*}
585         u_n &= \left\{ \begin{array}{c} u_0 = 2 \\ u_1 = -4 \\ u_n = 111 - \frac{1130}{u_{n-1}} + \frac{3000}{u_{n-1}u_{n-2}}\end{array}\right.
586 \end{align*}
588 The limit of the series should be $6$ but when calculated with IEEE floats it is actually $100$
589 The authors show that the limit is actually $100$ for different starting values, and the error in floating point arithmetic causes the series to go to that limit instead.
591 \begin{figure}[H]
592         \centering
593         \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/handbook1-1.pdf}
594         \caption{Output of Program 1.1 from \emph{Handbook of Floating-Point Arithmetic}\cite{HFP} for various IEEE types}
595         \label{HFP-1-1}
596 \end{figure}
598 \subsection{Mr Gullible and the Chaotic Bank Society pgs 10-11 \cite{HFP}}
600 This is an example of a sequence involving $e$. Since $e$ cannot be represented exactly with FP, even though the sequence should go to $0$ for $a_0 = e - 1$, the representation of $a_0 \neq e - 1$ so the sequence goes to $\pm \infty$.
602 To eliminate these types of problems we'd need an \emph{exact} representation of all real numbers.
603 For \emph{any} FP representation, regardless of precision (a finite number of digits) there will be numbers that can't be represented exactly hence you could find a similar sequence that would explode.
605 IE: The more precise the representation, the slower things go wrong, but they still go wrong, {\bf even with errorless operations}.
608 \subsection{Rump's example pg 12 \cite {HFP}}
610 This is an example where the calculation of a function $f(a,b)$ is not only totally wrong, it gives completely different results depending on the CPU. Despite the CPU conforming to IEEE.
612 \section{Scalable Vector Graphics (SVG) 1.1 (Second Edition) \cite{svg2011-1.1}}
614 Scalable Vector Graphics (SVG) is a XML language for describing two dimensional graphics. This document is \url{http://www.w3.org/TR/2011/REC-SVG11-20110816/}, the latest version of the standard at the time of writing.
616 \subsubsection{Three types of object}
617 \begin{enumerate}
618         \item Vector graphics shapes (paths)
619         \item Images (embedded bitmaps)
620         \item Text
621 \end{enumerate}
623 \subsubsection{Rendering Model and Precision}
625 SVG uses the painter's model''. Paint is applied to regions of the page in an order, covering the paint below it according to rules for alpha blending.
627 Implementations of SVG are expected to behave as though they implement a rendering (or imaging) model cor-
628 responding to the one described in this chapter. A real implementation is not required to implement the model in
629 this way, but the result on any device supported by the implementation shall match that described by this model.''
631 SVG uses {\bf single precision floats}. Unlike PDF and PostScript, the standard specifies this as a {\bf minimum} range from \verb/-3.4e+38F/ to \verb/+3.4e+38F/
633 It is recommended that higher precision floating point storage and computation be performed on operations
634 such as coordinate system transformations to provide the best possible precision and to prevent round-off errors.''
636 There is also a High Quality SVG Viewers'' requirement to use at least {\bf double} precision floats.
638 \section{OpenVG Specification 1.1 \cite{rice2008openvg}}
639 OpenVG is an application programming interface (API) for hardware-accelerated two-
640 dimensional vector and raster graphics developed under the auspices of the Khronos
641 Group \url{www.khronos.org}.''
643 Specifically, provides the same drawing functionality required by a high-performance SVG document viewer (SVG Tiny 1.2)
644 TODO: Look at that $\neq$ SVG 1.1
646 It is designed to be similar to OpenGL.
648 \subsubsection{Precision}
649 All floating-point values are specified in standard IEEE 754 format. However,
650 implementations may clamp extremely large or small values to a restricted
651 range, and internal processing may be performed with lesser precision. At least
652 16 bits of mantissa, 6 bits of exponent, and a sign bit must be present, allowing
653 values from $\pm 2^{-30}$ to $\pm2^{31}$ to be represented with a fractional precision of at least 1
654 in $2^{16}$.''
656 IEEE but with a non standard number of bits.
658 Presumably the decreased precision is for increased efficiency the standard states that example applications are for ebooks.
661 \section{Document Object Model --- pugixml 1.4 manual \cite{pugixmlDOM}}
663 Pugixml is a C++ library for parsing XML documents\cite{kapoulkine2014pugixml}. XML is based on the Document Object Model (DOM); this is explained pretty well by the pugixml manual.
665 The document is the root node of the tree. Each child node has a type. These may
666 \begin{itemize}
667         \item Have attributes
668         \item Have child nodes of their own
669         \item Contain data
670 \end{itemize}
672 In the case of HTML/SVG an XML parser within the browser/viewer creates the DOM tree from the XML (plain text) and then interprets that tree to produce the objects that will be rendered.
674 Example of XML $\to$ DOM tree given at\cite{pugixmlDOM}.
675 Example of XML parsing using pugixml is in \shell{code/src/tests/xml.cpp}
678 \begin{figure}[H]
679         \centering
680 \begin{minted}{xml}
681 <?xml version="1.0"?>
682 <mesh name="mesh_root">
683     <!-- here is a mesh node -->
684     some text
685     <![CDATA[someothertext]]>
686     some more text
687     <node attr1="value1" attr2="value2" />
688     <node attr1="value2">
689         <innernode/>
690     </node>
691 </mesh>
692 <?include somedata?>
693 \end{minted}
695         \includegraphics[width=0.6\textwidth]{references/pugixmlDOM-dom_tree.png}
696         \caption{Tree representation of the above listing \cite{pugixmlDOM}}
697 \end{figure}
699 \section{An Algorithm For Shading of Regions on Vector Display Devices \cite{brassel1979analgorithm}}
701 All modern display devices are raster based and therefore this paper is mainly of historical interest. It provides some references for shading on a raster display.
703 The algorithm described will shade an arbitrary simply-connected polygon using one or two sets of parallel lines.
705 The traditional'' method is:
706 \begin{enumerate}
707         \item Start with a $N$ vertex polygon, rotate coords by the shading angle
708         \item Determine a bounding rectangle
709         \item For $M$ equally spaced parallel lines, compute the intersections with the boundaries of the polygon
710         \item Rotate coordinates back
711         \item Render the $M$ lines
712 \end{enumerate}
714 This is pretty much exactly how an artist would shade a pencil drawing. It is $O(M\times N)$.
716 The algorithm in this paper does:
717 \begin{enumerate}
718         \item Rotate polygon coords by shading angle
719         \item Subdivide the polygon into trapezoids (special case triangle)
720         \item Shade the trapezoids independently
721         \item Rotate it all back
722 \end{enumerate}
723 It is more complicated than it seems. The subdivision requires a sort to be performed on the vertices of the polygon based on their rotated $x$ and $y$ coordinates.
725 \section{An Algorithm For Filling Regions on Graphics Display Devices \cite{lane1983analgorithm}}
727 This gives an algorithm for for polygons (which may have holes'').
728 It requires the ability to subtract'' fill from a region; this is (as far as I can tell) difficult for vector graphics devices but simple on raster graphics devices, so the paper claims it is oriented to the raster graphics devices.
730 If the polygon is defined by $(x_i, y_i)$ then this algorithm iterates from $i = 2$ and alternates between filling and erasing the triangles $[(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1}), (x_1, y_1)]$. It requires no sorting of the points.
732 The paper provides a proof that the algorithm is correct and is optimal in the number of pixel updates required for convex polygons''.
733 In the conclusion it is noted that trapezoids could be used from a fixed line and edge of the polygon, but this is not pixel optimal.
735 This paper doesn't have a very high citation count but it is cited by the NVIDIA article \cite{kilgard2012gpu}.
736 Apparently someone else adapted this algorithm for use with the stencil buffer.
738 \section{GPU-accelerated path rendering \cite{kilgard2012gpu, kilgard300programming}}
740 Vector graphics on the GPU; an NVIDIA extension. \cite{kilgard300programming} is the API.
742 Motivations:
743 \begin{itemize}
744         \item The focus has been on 3D acceleration in GPUs; most path rendering is done by the CPU.
745         \item Touch devices allow the screen to be transformed rapidly; CPU rastering of the path becomes inefficient
746         \begin{itemize}
747                 \item The source of the ugly pixelated effects on a smartphone when scaling?
748         \end{itemize}
749         \item Especially when combined with increased resolution of these devices
750         \item Standards such as HTML5, SVG, etc, expose path rendering
751         \item Javascript is getting fast enough that we can't blame it anymore (the path rendering is the bottleneck not the JS)
752         \item GPU is more power efficient than the CPU
753 \end{itemize}
755 Results show the extension is faster than almost every renderer it was compared with for almost every test image.
757 Comparisons to other attempts:
758 \begin{itemize}
759         \item Cairo and Glitz \cite{nilsson2004glitz} (abandoned)
760 \       \item Direct2D from Microsoft uses CPU to tesselate trapezoids and then renders these on the GPU
761         \item Skia in Android/Chrome uses CPU but now has Ganesh which is also hybrid CPU/GPU
762         \item Khronos Group created OpenVG\cite{rice2008openvg} with several companies creating hardware units to implement the standard. Performance is not as good as what we report''
763 \end{itemize}
766 \section{A Multiple Precision Binary Floating Point Library With Correct Rounding \cite{fousse2007mpfr}}
768 This is what is now the GNU MPFR C library; it has packages in debian wheezy.
770 The library was motivated by the lack of existing arbitrary precision libraries which conformed to IEEE rounding standards.
771 Examples include Mathematica, GNU MP (which this library is actually built upon), Maple (which is an exception but buggy).
773 TODO: Read up on IEEE rounding to better understand the first section
775 Data:
776 \begin{itemize}
777         \item $(s, m, e)$ where $e$ is signed
778         \item Precision $p$ is number of bits in $m$
779         \item $\frac{1}{2} \leq m < 1$
780         \item The leading bit of the mantissa is always $1$ but it is not implied
781         \item There are no denormalised numbers
782         \item Mantissa is stored as an array of limbs'' (unsigned integers) as in GMP
783 \end{itemize}
785 The paper includes performance comparisons with several other libraries, and a list of literature using the MPFR (the dates indicating that the library has been used reasonably widely before this paper was published).
787 \section{Lecture Notes on the Status of IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic \cite{kahan1996ieee754}}
789 11 years after the IEEE 754 standard becomes official, Kahan discusses various misunderstood features of the standard and laments at the failure of compilers and microprocessors to conform to some of these.
791 I am not sure how relevant these complaints are today, but it makes for interesting reading as Kahan is clearly very passionate about the need to conform \emph{exactly} to IEEE 754.
793 Issues considered are: Rounding rules, Exception handling and NaNs (eg: The payload of NaNs is not used in any software Kahan is aware of), Bugs in compilers (mostly Fortran) where an expression contains floats of different precisions (the compiler may attempt to optimise an expression resulting in a failure to round a double to a single), Infinity (which is unsupported by many compilers though it is supported in hardware)...
796 An example is this Fortran compiler nasty bug'' where the compiler replaces $s$ with $x$ in line 4 and thus a rounding operation is lost.
797 \begin{minted}{Fortran}
798         real(8) :: x, y % double precision (or extended as real(12))
799         real(4) :: s, t % single precision
800         s = x % s should be rounded
801         t = (s - y) / (...) % Compiler incorrectly replaces s with x in this line
802 \end{minted}
804 \subsection{The Baleful Influence of Benchmarks \cite{kahan1996ieee754} pg 20}
806 This section discusses the tendency to rate hardware (or software) on their speed performance and neglect accuracy.
808 Is this complaint still relevant now when we consider the eagerness to perform calculations on the GPU?
809 ie: Doing the coordinate transforms on the GPU is faster, but less accurate (see our program).
811 Benchmarks need to be well designed when considering accuracy; how do we know an inaccurate computer hasn't gotten the right answer for a benchmark by accident?
813 A proposed benchmark for determining the worst case rounding error is given. This is based around computing the roots to a quadratic equation.
814 A quick scan of the source code for paranoia does not reveal such a test.
816 As we needed benchmarks for CPUs perhaps we need benchmarks for GPUs. The GPU Paranoia paper\cite{hillesland2004paranoia} is the only one I have found so far.
818 \section{Prof W. Kahan's Web Pages \cite{kahanweb}}
820 William Kahan, architect of the IEEE 754-1985 standard, creator of the program paranoia'', the Kahan Summation Algorithm'' and contributor to the revised standard.
822 Kahan's web page has more examples of errors in floating point arithmetic (and places where things have not conformed to the IEEE 754 standard) than you can poke a stick at.
824 Wikipedia's description is pretty accurate: He is an outspoken advocate of better education of the general computing population about floating-point issues, and regularly denounces decisions in the design of computers and programming languages that may impair good floating-point computations.''
826 Kahan's articles are written with almost religious zeal but they are backed up by examples and results, a couple of which I have confirmed.\footnote{One that doesn't work is an example of wierd arithmetic in Excel 2000 when repeated in LibreOffice Calc 4.1.5.3} This is the unpublished work. I haven't read any of the published papers yet.
828 The articles are filled sporadically with lamentation for the decline of experts in numerical analysis (and error) which is somewhat ironic; if there were no IEEE 754 standard meaning any man/woman and his/her dog could write floating point arithmetic and expect it to produce platform independent results\footnote{Even if, as Kahan's articles often point out, platforms aren't actually following IEEE 754} this decline would probably not have happened.
830 These examples would be of real value if the topic of the project were on accuracy of numerical operations. They also explain some of the more bizarre features of IEEE 754 (in a manner attacking those who dismiss these features as being too bizarre to care about of course).
832 It's somewhat surprising he hasn't written anything (that I could see from scanning the list) about the lack of IEEE in PDF/PostScript (until Adobe Reader 6) and further that the precision is only binary32.
834 I kind of feel really guilty saying this, but since our aim is to obtain arbitrary scaling, it will be inevitable that we break from the IEEE 754 standard. Or at least, I (Sam) will. Probably. Also there is no way I will have time to read and understand the thousands of pages that Kahan has written.
836 Therefore we might end up doing some things Kahan would not approve of.
838 Still this is a very valuable reference to go in the overview of floating point arithmetic section.
840 \chapter{General Notes}
842 \section{The DOM Model}
844 A document is modelled as a tree. The root of the tree is the document. This has nodes of varying types. Some nodes may have children, attributes, and data.
846 \section{Floating-Point Numbers\cite{HFP,goldberg1991whatevery,goldberg1992thedesign,priest1991algorithms}}
848 A set of FP numbers is characterised by:
849 \begin{enumerate}
850         \item Radix (base) $\beta \geq 2$
851         \item Precision %$p \req 2$ number of sig digits''
852         \item Two extremal exponents $e_min < 0 < e_max$ (generally, don't have to have the $0$ in there)
853 \end{enumerate}
855 Numbers are represented by {\bf integers}: $(M, e)$ such that $x = M \times \beta^{e - p + 1}$
857 Require: $|M| \leq \beta^{p}-1$ and $e_min \leq e \leq e_max$.
859 Representations are not unique; set of equivelant representations is a cohort.
861 $\beta^{e-p+1}$ is the quantum, $e-p+1$ is the quantum exponent.
863 Alternate represetnation: $(s, m, e)$ such that $x = (-1)^s \times m \times \beta^{e}$
864 $m$ is the significand, mantissa, or fractional part. Depending on what you read.
870 \section{Rounding Errors}
873 They happen. There is ULP and I don't mean a political party.
875 TODO: Probably say something more insightful. Other than "here is a graph that shows errors and we blame rounding".
877 \subsection{Results of calculatepi}
879 We can calculate pi by numerically solving the integral:
880 \begin{align*}
881         \int_0^1 \left(\frac{4}{1+x^2}\right) dx &= \pi
882 \end{align*}
884 Results with Simpson Method:
885 \begin{figure}[H]
886         \centering
887         \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/calculatepi.pdf}
888         \caption{Example of accumulated rounding errors in a numerical calculation}
889 \end{figure}
891 Tests with \verb/calculatepi/ show it's not quite as simple as just blindly replacing all your additions with Fast2Sum from Dekker\cite{dekker1971afloating}.
892 ie: The graph looks exactly the same for single precision. \verb/calculatepi/ obviously also has multiplication ops in it which I didn't change. Will look at after sleep maybe.
895 \pagebreak
896 \bibliographystyle{unsrt}
897 \bibliography{papers}
899 \end{document} UCC git Repository :: git.ucc.asn.au