thesis/appendices/tcs_noise.tex~

   1 \section{Effect of Noise on the TCS Curve}
   2
   3 Taking the derivative of discrete data is problematic. Consider a function $f(x)$. Using a centred difference finite derivative approximation:
   4 \begin{align*}
   5         \der{f}{x} &= \frac{f(x + h) - f(x - h)}{h} + O(h^2)
   6 \end{align*}
   7 The accuraracy of this approximation increases as $h \to 0$\footnote{Ignoring any effects due to rounding of floating point numbers}.
   8
   9 If $f_s(x)$ is the result of sampling $f(x)$, with $\Delta f$ the uncertainty in a measurement, then we can calculate the final uncertainty when finite differences are used to approximate $\der{f}{x}$:
  10 \begin{align*}
  11         f_s(x) &= f(x) \pm \Delta f \\
  12         \der{f_s}{x} &\approx \der{f}{x} \\
  13         &= \frac{f(x + h) - f(x - h)}{h} + O(h^2) \pm \frac{\Delta f}{h}
  14 \end{align*}
  15 The uncertainty in the sampled derivative has a pole at $h = 0$.
  16
  17
  18 {\emph Note: I now suspect that this is a major reason why Komolov has used Lock-in amplifiers}
  19
  20
  21 Smoothing of the sampled points $f_s(x)$ (by application of a moving average) will reduce the deviation of points the smooth curve which best fits the data; We can think of the points $f_s(x)$ as sampling a \emph{different} function to $f(x)$, but with smaller uncertainties. Smoothing of the original sampled points removes fine structure.
  22
  23 The alternative is to increase $h$.
  24
  25 As shown in Figures \ref{siI.eps} and \ref{siI_tcs.eps}, smoothing of $f_s(x)$ has a far greater effect on the derivative of $f_s$ than on $f_s$ itself.
  26
  27 \emph{TODO: Calculate MSE for both curves}
  28 \emph{TODO: Show curves created with large $h$}
  29
  30
  31 \begin{figure}[H]
  32         \centering
  33         \includegraphics[width=0.5\textwidth, angle=270]{figures/tcs/plots/siI.eps}
  34         \caption{An unprocessed and smoothed I(E) curve for a Si sample.}
  35         \label{siI.eps}
  36 \end{figure}
  37
  38 \begin{figure}[H]
  39         \centering
  40         \includegraphics[width=0.5\textwidth, angle=270]{figures/tcs/plots/siI_tcs.eps}
  41         \caption{The effect of smoothing the original I(E) curve on its derivative.}
  42         \label{siI_tcs.eps}
  43 \end{figure}
  44
  45 \section{Sources of Noise}
  46
  47
  48